Combien de fois par jour les aiguilles d’une horloge se chevauchent-elles ?

La réponse est 12.

Wikipedia propose une liste d’horloges si vous voulez en vérifier certaines :

Quel est le rapport entre les aiguilles d’une horloge et la fréquence à laquelle l’aiguille des minutes se chevauche avec l’autre ?

C’est là qu’intervient cet article ! Cet article aborde les phases d’une horloge, et approfondit la question à partir de là ! La clé est de comprendre ce que signifie réellement le « chevauchement », puis de déterminer combien de temps il faut pour que cela se produise douze fois par jour.

En janvier 2015, le département de physique de l’Université de Houston – Clear Lake a organisé un concours pour déterminer

combien de fois par jour les aiguilles d’une horloge se chevauchent ?

La seule règle : avoir une méthode pour s’assurer que votre réponse était correcte. Cet article traite de l’une des soumissions au concours. Tout d’abord, revoyons la terminologie :

Si vous tenez votre main gauche avec le pouce vers le haut et fermez un œil, vous verrez quatre doigts sur votre main droite (entre le pouce et l’index). Si vous fermez maintenant cet œil et ouvrez l’autre œil (en gardant votre main gauche dans la même position), vous verrez trois doigts sur votre main droite. Si vous fermez à nouveau cet œil et ouvrez l’autre œil, vous verrez deux doigts sur votre main droite. Fermez à nouveau cet œil et ouvrez le premier œil que vous avez fermé, et vous verrez un doigt sur votre main droite. C’est ce qu’on appelle un déphasage des aiguilles d’une horloge. Les yeux sont comme les deux aiguilles d’une horloge analogique. Ainsi, un déphasage se produit lorsque les aiguilles passent d’une main au-dessus de l’autre à l’autre main au-dessus de la première.

Maintenant que nous connaissons la terminologie, voyons quelles sont les phases ! Les phases d’une horloge sont :

Nous allons maintenant les regarder dans l’ordre ! En commençant par l’endroit où elles se chevauchent (la 12ème phase) et en allant dans le sens des aiguilles d’une montre jusqu’à ce que nous revenions à l’endroit où elles se chevauchent à nouveau (la 1ère phase).

La 12e phase est celle où les aiguilles se chevauchent, ce que nous avons déjà vu.

La 11e phase est celle où l’aiguille des minutes (la main gauche) se trouve devant l’aiguille des heures (la main droite).

En effet, lorsque vous regardez une horloge analogique, l’aiguille des heures pointe de 1 à 12 et celle des minutes de 0 à 60. Les aiguilles des heures et des minutes diffèrent en taille, mais ce n’est pas important pour l’instant ! Donc, si quelqu’un vous demandait quelle heure il est et que vous lui disiez qu’il est 3:17, il vous demanderait probablement « quelle heure ? », en supposant qu’il ait lâché le 3 de sa montre avant que vous lui disiez quelle heure il est. Ceci est dû à la 11e phase, qui peut être trouvée en soustrayant l’aiguille des heures de 1/12 d’un jour (60 minutes). Il s’agit donc d’un nombre inférieur à un (ce qui vous permet de savoir si l’aiguille des heures est avant ou après l’aiguille des minutes) ; nous trouvons donc la 1ère phase, puis nous la soustrayons pour revenir à notre point de départ.

La 10e phase est celle où l’aiguille des minutes (la main gauche) est devant et touche l’aiguille des heures (la main droite).

Nous sommes déjà passés par la 11e phase, qui n’est pas celle-ci. Cela doit donc être dû au fait que l’aiguille des minutes n’a pas encore dépassé 12, mais que l’aiguille des heures a dépassé 1. Pour le savoir, il faut soustraire 1 à l’aiguille des heures, puis diviser ce nombre par 12 (car il y a 12 heures dans une journée).

La 9e phase est celle où les deux aiguilles sont égales l’une à l’autre.

Il s’agit simplement de la 10e phase à laquelle on ajoute un -1 ! Si nous reprenons ce que nous avons fait dans la 10e phase, mais qu’au lieu d’ajouter 1 à l’aiguille des heures, nous lui soustrayons 1.

Dans la 8e phase, l’aiguille des heures (la main gauche) se trouve devant l’aiguille des minutes (la main droite) et la touche, tout comme dans la 9e phase.

Mais cette fois, nous ajoutons 1 à l’aiguille des heures au lieu de le soustraire ! Cela signifie que nous ajoutons 1 à un nombre pair, que nous divisons donc par 2. Répétez cette opération et vous obtiendrez un nombre égal à la moitié d’une journée. Rappelez-vous qu’il y a 24 heures dans une journée, donc : 0 < tout nombre impair < 12 < tout nombre pair.

La 7e phase est celle où l’aiguille des heures (la main gauche) est devant et touche l’aiguille des minutes (la main droite), tout comme dans la 8e phase. Mais cette fois, nous ajoutons 1 à l’aiguille des heures au lieu de le soustraire ! Cela signifie que nous ajoutons 1 à un nombre pair, que nous divisons donc par 2. Répétez cette opération et vous obtiendrez un nombre égal aux 3/4 d’une journée. Rappelez-vous qu’il y a 24 heures dans une journée, donc : 0 < tout nombre impair < 12 < tout nombre pair.

La 6ème phase est celle où les deux mains sont à nouveau paires. Il s’agit simplement de la 7e phase à laquelle on ajoute un -1 ! Si nous reprenons ce que nous avons fait dans la 7e phase mais qu’au lieu d’ajouter 1 à l’aiguille des heures, nous lui soustrayons 1.

Dans la 5e phase, l’aiguille des minutes (la main gauche) se trouve devant l’aiguille des heures (la main droite) et la touche, tout comme dans la 6e phase.

Mais cette fois, nous ajoutons 1 à l’aiguille des minutes au lieu de le soustraire ! Cela signifie que nous ajoutons 1 à un nombre pair, que nous divisons donc par 2. Répétez cette opération et vous obtiendrez un nombre égal aux 3/4 d’une journée. Rappelez-vous qu’il y a 24 heures dans une journée, donc : 0 < tout nombre impair < 12 < tout nombre pair.

La 4ème phase est celle où les deux aiguilles sont à nouveau égales. Il s’agit simplement de la 5e phase à laquelle on a ajouté un -1 ! Si nous reprenons ce que nous avons fait dans la 5e phase, mais qu’au lieu d’ajouter 1 à l’aiguille des heures, nous lui soustrayons 1.

Dans la 3e phase, l’aiguille des minutes (la main gauche) se trouve devant l’aiguille des heures (la main droite) et la touche, tout comme dans la 4e phase. Mais cette fois, nous ajoutons 1 à l’aiguille des minutes au lieu de le soustraire ! Cela signifie que nous ajoutons 1 à un nombre pair, que nous divisons donc par 2. Répétez cette opération et vous obtiendrez un nombre égal aux 3/4 d’une journée. Rappelez-vous qu’il y a 24 heures dans une journée, donc : 0 < tout nombre impair < 12 < tout nombre pair.

La 2ème phase est celle où les deux mains sont à nouveau paires. Il s’agit simplement de la 3ème phase à laquelle on ajoute un -1 ! Si nous reprenons ce que nous avons fait dans la 3e phase mais qu’au lieu d’ajouter 1 à l’aiguille des heures, nous lui soustrayons 1.

Dans la première phase, l’aiguille des minutes (la main gauche) se trouve devant l’aiguille des heures (la main droite) et la touche, comme dans la deuxième phase. Mais cette fois, nous ajoutons 1 à l’aiguille des minutes au lieu de le soustraire ! Cela signifie que nous ajoutons 1 à un nombre pair, que nous divisons donc par 2. Répétez cette opération et vous obtiendrez un nombre égal aux 3/4 d’une journée. Rappelez-vous qu’il y a 24 heures dans une journée, donc : 0 < tout nombre impair < 12 < tout nombre pair.

Maintenant, si nous ajoutons 2 phases, nous obtenons un nombre pair de jours. Si nous répétons la 2ème phase (en y ajoutant un -1) mais qu’au lieu de soustraire 1 à l’aiguille des heures, nous ajoutons 1, alors cela fait 0,5 jour. Rappelez-vous qu’il y a 12 heures dans une journée, donc : 0 < tout nombre impair < 12 < tout nombre pair.

Cela signifie que si nous avons 0,5 jour, alors cela représente un autre quart de jour et ainsi de suite. Cela signifie qu’il est possible d’obtenir des fractions de jour plus petites que 1/4 (c’est-à-dire 1/3 de jour, 1/5) ou des fractions de jour plus grandes que 24 (c’est-à-dire 25 jours).

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